INTRODUÇÃO À MATEMÁTICA FINANCEIRA

CURSO DE MATEMÁTICA FINANCEIRA
Caderno 2 / 4

Prof. Antonio Carlos M. Mattos
Material registrado na BNRJ

TAXAS NOMINAIS E EFETIVAS
JUROS SIMPLES versus JUROS COMPOSTOS
PROJEÇÃO DE PAGAMENTOS
APLICAÇÕES
FLUXOS A VALORES CORRENTES E INDEXADOS
TAXA DE JUROS REAL E APARENTE
RELAÇÃO DE FISHER
VALOR PRESENTE LÍQUIDO E TAXA INTERNA DE RETORNO
DEPRECIAÇÃO, CORREÇÃO MONTETÁRIA E FLUXO DE CAIXA
UTILIZANDO PERCENTAGENS
AS PRESTAÇÕES "SEM JUROS"
UM EXEMPLO COMPLETO
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS

TAXAS NOMINAIS E EFETIVAS

Consideremos uma taxa de 1 % a/m. Há duas maneiras de se converter essa taxa mensal para anual. A primeira, correta, é obtida via juros compostos, valendo 12,68 % a/a. A segunda maneira, incorreta, é 1 x 12 = 12 % a/a, calculada via juros simples.

Como ambas as conversões são utilizadas na prática, costuma-se diferenciá-las através da seguinte nomenclatura:

• A taxa de 12,68 % a/a, obtida via juros compostos, chama-se taxa de juros efetiva;

• A taxa de 12,00 % a/a, obtida via juros simples, chama-se taxa de juros nominal ou proporcional ou pro rata tempore ("proporcional ao tempo" -- note que em latim não há acentos nem hifens)

Obs: Por vezes, pode ser encontrada a frase: "Taxa efetiva de juros simples", o que parece ser uma contradição. Na realidade ela deve ser entendida como "a taxa final calculada é efetiva, embora a operação envolva alguns cálculos de juros simples". Tal é o caso do cálculo do custo efetivo (juros compostos) de uma operação de desconto de duplicatas (juros simples). No entanto, tal frase deve ser evitada para não causar confusão.

Quando um contrato especifica juros simples, é comum se referir a "juros pro rata die", quando o cálculo do juros é diário. "Juros pro rata mense", quando é apenas mensal (sem incluir fração do mês). E "juros pro rata anno", quando anual. Naturalmente, a frase "juros pro rata tempore" é indefinida e não deve ser usada.

JUROS SIMPLES versus JUROS COMPOSTOS

Nos juros simples, as conversões de taxas produzem sempre juros nominais. Hoje em dia, não se utilizam juros simples em análises profissionais, mas apenas juros compostos. Neste modelo, as conversões de taxas sempre produzem juros efetivos.

A tabela comparativa abaixo ilustra a diferença entre os dois modelos.

Como notamos, os juros simples de $ 5, devidos e não pagos no vencimento, não são incorporados ao principal da dívida. Já na segunda tabela, os juros não pagos são incorporados, resultando em um acréscimo de $1 nos juros pagos, junto com a segunda parcela. Esse $1 a mais é o "juro sobre juro".

"JUROS SOBRE JUROS": NOTAS LEGAIS

A proibição de cobrança de juros sobre juros ainda está em vigor no Brasil (DL 22.626 de 7.4.33, art. 4º, Lei da Usura). Mas esta lei só vale para juros acumulados mensalmente. Vencido um ano, os juros podem ser incorporados ao valor da divida, e sobre eles podem ser cobrados juros (artigo 4º). No entanto, a MP-1063 permitiu a capitalização mensal.

Para os juristas, ANATOCISMO é sinônimo de "cobrança de juros sobre juros". Para uma detalhada discussão sobre o assunto, veja "A Tabela Price É Ilegal", "A Tabela Price É Legal" e "Tabela Price". Este último artigo é do autor de conhecidas tabelas de atualização monetária (correção monetária), onde valores antigos (cruzeiros, cruzados etc.) são facilmente convertidos e atualizados para a moeda corrente (R$). Essas tabelas de atualização monetária são oficialmente usadas pelos tribunais. A Tabela Price é usada para o cálculo de juros compostos.

É sempre bom estar preparado para essas infindáveis e antigas discussões sobre o anatocismo, que vêm desde o tempo do Deuteronômio ou do Alcorão, onde se proibe taxativamente a cobrança de juros, seja ele simples ou composto.

O uso do anatocismo (do grego "aná" = "outra vez", e "tokos" = juros) tem sido, através dos séculos, ora aceito, ora condenado. Em 51 AC se encontram as primeiras referências do famoso orador romano Marcus Tullius Cicero (106 AC – 43 AC), por ocasião do julgamento de uma ação, onde estava em discussão o uso de juros simples ou compostos. E até hoje ainda não existe um acordo geral sobre o assunto, embora o juro composto seja o modelo usado pelos profissionais de finanças há muito tempo.

Um interessante estudo pode ser encontrado no artigo "Anatocisme", de Anna Pikulska, da Université de Lodz, publicado na "Revue Internationale des Droits de L'Antiquité", 3e. série, Tome XLV, 1998, no endereço:
http://www.ulg.ac.be/vinitor/rida/1998/PIKULSKA.pdf

COM JUROS SIMPLES, AS CONTAS NÃO FECHAM

Suponha que você tenha investido $1.000 à taxa de juros simples de 5% a/m durante 2 meses. Findo esse período, você então aplica o montante obtido em uma outra aplicação, à mesma taxa, mas agora durante 4 meses. Após esses 6 meses, você terá obtido um montante de $1.320.

Admitamos aogra que você tenha feito uma única aplicação de $1.000, à mesma taxa de juros simples de 5% a/m, durante o mesmo prazo de 6 meses. Neste caso, seu saldo será agora de $1.300 (e não mais de $1.320).

Refaçamos o caso anterior, mas usando agora juros compostos. Findas as duas aplicações de 2 e 4 meses, você terá obtido o montante de $1.340,10. Aplicando agora uma única vez, à mesma taxa de juros compostos, durante 6 meses, o resultado final será de $1.340,10, igual ao anterior, como era de se esperar. Os fluxos de caixa abaixo ilustram essa nova situação.

Quando se toma emprestado um dinheiro a uma dada taxa de juros, o valor da dívida cresce proporcionalmente ao tempo decorrido, no modelo de juros simples. Mas quando se usam juros compostos, o valor cresce exponencialmente com o tempo. Assim, não se procurando amortizar a dívida rapidamente, através de pagamentos periodicos, logo se chegará a um valor impagável, o que é ruim tanto para o credor (que não recebe) como para o devedor (que fica com seu "nome sujo" – na Antiguidade ele se tornaria escravo do credor até a quitação da dívida). O quadro abaixo mostra uma comparação entre os dois modelos.

FIM AULA 1 DE 5

INICIO AULA 2 DE 5

PROJEÇÃO DE PAGAMENTOS

Toda a Matemática Financeira está baseada no conceito simples de Projeção de Pagamentos.

Consideremos um pagamento de $ 70.000, que deva ser efetuado no fim de maio. Se, ao invés de realizá-lo nessa data, for feito no fim de junho, qual deverá ser o seu valor ? A taxa de juros durante o mês de junho é de 8 % a/m. Neste caso, os $ 70.000 deverão ser projetados para a frente (ou capitalizados) a 8 % a/m:

70.000 + (8 % de 70.000) = 75.600                               note que 8% = 0.08  0/1

Se a taxa for expressa em valores por unidade (0/1) (às vezes impropriamente denominada de taxa decimal), isto é, 0,08  0/1 a/m, então chegaremos ao mesmo resultado fazendo:

70.000 x ( 1 + 0,08 ) = 75.600           

Suponhamos agora que os mesmos $ 70.000 devam ser pagos um mês antes, no fim de abril, sendo agora de 9 % a/m a taxa vigente em maio. O valor a ser pago será obtido projetando-se os $ 70.000 de um período para trás (descapitalização):

70.000 / ( 1 + 0,09 ) = 64.220,18

O que vimos acima ilustra bem o conceito de equivalência de fluxos de capitais: pagar $ 64.220,18 no fim de abril é equivalente a pagar $ 70.000 no fim de maio, desde que o custo do dinheiro em maio tenha sido de 9 % a/m. Por sua vez, pagar $ 70.000 no fim de maio é equivalente a pagar $ 75.600 no fim de junho, desde que o custo do dinheiro em junho tenha sido de 8 % a/m.

Em outras palavras, tanto faz pagar $ 64.220,18 no fim de abril, ou $ 70.000 no fim de maio, ou $ 75.600 no fim de junho, desde que as taxas estabelecidas tenham sido de 9 % a/m e de 8 % a/m.

Tanto faz significa que nenhuma das partes será lesada nessas operações de postecipação ou antecipação de pagamentos, ou seja, será pago (ou recebido) exatamente 9% em maio e 8 % em junho.

Na prática, entretanto, sabemos que receber agora ou daqui a um ano, não é a mesma coisa, pois os riscos envolvidos são diferentes. Porém, o fator risco é ignorado na Matemática Financeira, donde o conceito de equivalência. Quando o risco também é incluído, temos a Matemática Atuarial, utilizada em Seguros, que não faz parte deste curso (Um dos melhores livros sobre o assunto é "Actuarial Mathematics", de Bowers, Gerber, Hickman, Jones e Nesbitt, publicado pela The Society of Actuaries, Itasca, Illinois, USA). Outra maneira de se incluir o risco na análise financeira é através da Análise de Risco (Risk Analysis).

O mecanismo da Projeção de Pagamentos, válido para qualquer caso, pode ser ilustrado através do esquema a seguir:

OBS:

As calculadoras financeiras não estão programadas para projetar pagamentos no caso geral, pois suas transformações só se dão a taxas e períodos constantes por todo o fluxo.

O valor capitalizado (Capital + Juros) é chamado de Montante.

DESCONTOS BANCÁRIOS

Erro comum, na prática, é confundir descapitalização (juros compostos) com desconto bancário (juros simples) que, no caso acima, seria:

70.000 - 9 % = 63.700

O portador do titulo receberia à vista $ 63.700 ao descontar o titulo de $ 70.000.
A diferença de $ 6.300 (70.000 - 63.700) é o desconto bancário (9%).

É fácil verificar que este valor está errado pois, ao projetá-lo novamente de um período para a frente, não voltamos aos $ 70.000, como seria de se esperar:

63.700,00 + 9 % = 69.433

enquanto que, partindo do valor descapitalizado correto  70000 / (1+0.09) = 64.220,18:

64.220,18 + 9 % = 70.000

chegamos novamente ao valor inicial, $70.000.

Esse procedimento usual de confundir descapitalização com desconto bancário é lesivo ao tomador, pois este recebe menos do que deveria ($ 63.700,00 em lugar de $ 64.220,18), o que faz com que a taxa efetivamente paga ao Banco não seja de 9 % a/m, mas sim de 9,89011 % a/m:

63.700 + 9,89011 % = 70.000

Assim, negociar 9 % a/m e depois usar desconto bancário a 30 dias (como é feito com Duplicatas e Notas Promissórias) é o mesmo que ter negociado 9,89 % a/m. E, quanto maior o prazo, maior o aumento da taxa inicialmente acordada. Por exemplo, descontar um título de 5 meses a uma taxa de 20 % a/m, é o mesmo que doar o título para o Banco, já que o valor recebido neste caso é zero.

O tipo de desconto acima é chamado de "desconto por fora" ou "desconto comercial" ou "desconto bancário".

Há um outro tipo, o "desconto por dentro" ou "desconto racional", que não é usado na prática bancária.

Exercicio:
Verifique que, descontando uma Nota Promissória ("Papagaio") de $ 10.000 com vencimento em 120 dias, a 4% a/m (desconto bancário), custa efetivemente 4.46% a/m ao tomador.

NOTA:
Veja em http://www.auditoriainterna.com.br/glossario.htm um glossário de termos financeiros.

DESCONTO "POR DENTRO" OU "RACIONAL"

O "cálculo por dentro" é utilizado pelo governo para aumentar artificialmente a aliquota do ICMS de 25% para 36%, sem que o consumidor o perceba, ao calcular o  ICMS sobre o ICMS (sic). Veja o caso real de uma conta de energia elétrica da Eletropaulo, exatamente como enviada ao conumidor:

Observe que os 25% deveriam ser calculados sobre o valor do consumo ($150.49). No entanto, como foi pago $54,19, a aliquota realmente foi de 36,01%  (150.49  enter  54.19  %T). O valor de $ 54.19 foi obtido calculando-se 25% sobre $216,83 (dando na realidade $54,21), ou seja, o ICMS foi calculado sobre o ICMS. Este é um exemplo de "cálculo por dentro". Para mais detalhes, veja este interessante artigo, onde o autor mostra que o cálculo por dentro é uma variante da "Lei de Gerson".

A parcela de $ 54.19, que deve ser igual a 25% do total ($ 216,83), é calculada assim:

(150.49 + 2.16 + 9.99) * 25% / (100% - 25%) = 162.64 / 3 = 54.21 ~= 54.19

Verificação:

162.64 + 54.21 = 216.85 ~= 216.83 = Base de cálculo do ICMS
25% * 216.85 = 54.21 ~= 54.19 = Valor do ICMS

OBS: os erros de aproximação na conta da Eletropaulo são devidos ao uso da aritmética binária nos computadores, ao invés da decimal (usada quando os cálculos são "feitos a mão" ou na HP-12C).

APLICAÇÕES

Um empréstimo foi efetuado no fim de setembro, para ser pago através de $ 50.000 no fim de outubro e de $ 60.000 no fim de dezembro. Sendo as taxas negociadas de 9 % em outubro, 11 % em novembro e 10 % em dezembro, quanto deverá ser recebido pelo tomador no fim de setembro ?

Projetando os pagamentos para trás:

O valor do empréstimo é PV = $ 90.954,17.

Às vezes é conveniente conhecer a taxa média da operação, que não deve ser obtida pela média das taxas: (9 + 11 + 10) / 3 = 10 % (errado), mas sim através da IRR:

fornecendo 9,745 % a/m de taxa média no periodo de out, nov e dez.

No caso acima, se no fim de novembro tivesse sido pago $ 30.000, quanto deveria ser pago no fim de dezembro ?

Partindo do fluxo anterior, vamos realizar transformações equivalentes, no sentido de satisfazer às novas condições. Comecemos por projetar 60.000 para o fim de novembro (60.000 / 1,10 = 54.545,45):

A seguir, deixemos 30.000 no fim de novembro, como mencionado no enunciado do problema, e projetemos os restantes 24.545,45 para fim de dezembro: 24.545,45 x 1,10 = 27.000:

VERIFICAÇÃO:

Vejamos se o fluxo final está correto, isto é, se esse novo esquema de pagamento efetivamente amortiza o empréstimo de $ 90.954,17.

Projetando os pagamentos para fim de setembro:

chegamos ao valor presente líquido dos pagamentos de $ 90.954,17, exatamente igual ao valor do empréstimo inicial. Desse modo o fluxo está correto, além de ser equivalente ao plano expresso no primeiro fluxo acima.

Assim, em resumo:

pague

$ 50.000 no fim de outubro
$ 30.000 no fim de novembro
$ 27.000 no fim de dezembro

para tomar $ 90.954,17 no fim de setembro.

Determinemos a taxa média da operação para esse fluxo:

dando 9,704 % a/m. Como notamos, a taxa média, que antes era de 9,745 % a/m, sofreu uma redução. Isto nos leva a uma conclusão importante:

Exemplo: Transformando uma idéia em realidade

FIM AULA 2 DE 5

INICIO AULA 3 DE 5

COMO SE MEDE A INFLAÇÃO

FIM AULA 3 DE 5

INICIO AULA 4 DE 5

FLUXOS A VALORES CORRENTES, CONSTANTES E INDEXADOS

Retomemos o segundo exemplo do item anterior, cujo fluxo é aqui repetido:

Este fluxo, constituído pelos valores efetivamente pagos em moeda corrente (reais, cruzeiros, dólares, euros etc) nas datas indicadas, é chamado de fluxo de caixa a valores correntes. Corresponde aos valores dos cheques emitidos para a realização dos pagamentos nas respectivas datas.

Escolhamos, agora um indexador, como por exemplo o IGPM da FGV, um índice muito utilizado (a seleção de indexadores será vista no Caderno 4 deste Curso). Suponhamos, ainda, que os valores do IGPM tenham sido de 5.000 durante setembro, 5.400 em outubro, 5.940 em novembro e 6.474,60 em dezembro (esses valores são publicados nos jornais, na revista Conjuntura Econômica da FGV e no site do Banco Central http://www4.bcb.gov.br/pec/series/port/ ).

A partir dos valores do IGPM, podemos determinar a Taxa de Inflação mensal:

A Taxa de Inflação média nesses três meses foi de:

{ ( 1,08 . 1,10 . 1,09 )^1/3 - 1 } 100 = 8,997 % a/m

Note que se utilizou a média geométrica de (1 + taxa 0/1) e não a média aritmética. Com juros e com inflação não se usam médias aritméticas nem "regras de três".

OBSERVAÇÕES:

Existem indexadores com variação mensal (IGPM, IPC etc.) e com variação diária (como em épocas de inflação alta) como a taxa da poupança e a taxa referencial de juros (TR).

A Correção Monetária (ou Atualização Monetária, mesma coisa) e a Taxa de Inflação nem sempre são iguais: A primeira é um indexador legal, enquanto que a segunda é a medida da inflação. Às vezes os dois estão próximos, mas esta não tem sido a regra, pois os índices legais (definidos pelo governo) têm sofrido "expurgos" (falsificações) ao longo do tempo.

Veja aqui os principais indexadores, bem como um comparativo entre eles.

Dividindo os valores correntes do fluxo pelo IGPM do mês, temos o fluxo indexado em IGPM.

OBS: Se o US$ acompanhasse exatamente a inflação brasileira, então poderiamos dividir os valores desse fluxo pela taxa de câmbio. Assim, o "fluxo indexado em IGPM" seria simplesmente um fluxo dolarizado. Mas, como o US$, além de não acompanhar a inflação brasileira, ainda embute a própria inflação americana, seria errado usá-lo como indexador, embora por vezes isso seja feito.

Como notamos agora, o total das despesas foi maior que o das receitas, significando que houve um ganho real para o aplicador, isto é, já descontada a inflação.

A vantagem dos fluxos em moeda indexada é que, uma vez negociadas as parcelas, os recebimentos ficam protegidos contra a inflação, pois, qualquer que seja ela, as parcelas serão automaticamente reajustadas.

Obviamente, a indexação é conveniente para quem aplica e desvantajosa para quem paga. Entretanto, há também um risco envolvido: Se o indexador escolhido (ou legalmente imposto) não acompanhar a inflação, o aplicador terá reduzida a sua rentabilidade, e o tomador, o seu custo. Os expurgos, portanto, penalizam os proprietários enquanto que a indexação os beneficia.

O fato de os indexadores oficiais que já existiram (OTN, BTN, TRD etc.) ou o atual IPCA-IBGE, e os índices de inflação (IGPM, IPC, IPA, IGP-DI etc.) serem por vezes corrigidos propositalmente abaixo da inflação tem o nome de expurgo nos índices. Com expurgos, um prejuízo pode se apresentar como um lucro real e, como tal, sujeito à tributação.

A correção monetária foi abolida no Plano Real, mas ainda é usada em alguns casos (como na correção de impostos atrasados, caso do IPTU de São Paulo em 2007).

A figura abaixo mostra o fluxo agora indexado.

 

OBS: Se todos os valores de um fluxo, indexados em IGPM, forem multiplicados pelo valor do IGPM de um dado mês, então o fluxo será em valores constantes desse mês, que também é uma forma de indexação. Essa é uma forma mais didática de se apresentar um fluxo indexado, pois estará expresso em moeda conhecida (R$, US$, Euros etc.) e não em índice (IGPM, IPCA etc.). Outros indexadores também podem ser utilizados, desde que explicitamente mencionados. Mas não se pode usar indexadores diferentes em um mesmo fluxo. Ao se usar valores constantes: (1) todos os valores possuem o mesmo poder de compra da data indicada; e (2) é como se não tivesse havido inflação no periodo analisado: é o que se chama fluxo em valores reais (nada a ver com R$).

 

EXEMPLOS  PRÁTICOS  DE  INDEXAÇÃO

1. A ilusão monetária nas vendas de uma empresa

A tabela Excel abaixo mostra o faturamento anual de uma empresa, obtido da sua contabilidade, na coluna B. Esses dados mostram que a empresa está crescendo, como indicado na linha azul do correspondente gráfico (abaixo). Nesses 5 anos, as vendas cresceram 30.9%.

Entretanto, considerando que as taxas de inflação pelo IGPM (col. D), as vendas cresceram abaixo da inflação, significando que, embora a empresa tenha tido aumento aparente nas vendas, seu crescimento real foi negativo (curva vermelha) em 17.7%. Para calcular o crescimento real (isto é, não afetado pela ilusão monetária induzida por valores correntes), determinam-se os valores das vendas em moeda constante da data zero como referência (pode ser escolhida qualquer data de referência). Na col. F estão as vendas reais, isto é, como se não tivesse havido inflação durante os 5 anos considerados. Com isto, elimina-se a ilusão monetária da análise financeira. Os valores da col. F também são chamados de "valores deflacionados".

	Ano	M R$ correntes	% a/a	Taxa de inflação	Indice de inflação	M R$ constantes do fim do ano 0	% a/a
		Faturamento Contábil	Variação aparente	IGPM FGV %	E(n-1) * * (1+Dn)	Bn / En * $E$1	Variação real
	A	B	C	D	E	F	G
1	0	12.00			100.00	12.00
2	1	12.96	8%	12%	112.00	11.57	-3.6%
3	2	14.39	11%	15%	128.80	11.17	-3.5%
4	3	15.10	5%	10%	141.68	10.66	-4.6%
5	4	15.26	1%	7%	151.60	10.06	-5.6%
6	5	15.71	3%	5%	159.18	9.87	-1.9%
	Variação das vendas	30.92%	30.92%	59.18%	59.18%	-17.7%	-17.7%

Note que, pela relação de Fisher (ver adiante), 1.3092/1.5918 - 1 = -17.7%

2. O "crescimento" da renda dos brasileiros nos últimos 50 anos.

Mensalmente, o DIEESE (www.dieese.org.br) publica os valores do salário-minimo a partir de 1940, como indicado no gráfico a seguir.

Se esse gráfico fosse construido com valores correntes (com as diferentes moedas convertidas para R$), teriamos uma curva exponencialmente ascendente, na maior parte do tempo, dando a impressão de que a renda do brasileiro tem subido bastante.

No entanto, como os economistas do DIEESE não sofrem de ilusão monetária, os salários-minimos são sempre convertidos para moeda constante da data da publicação, eliminando-se o efeito mascarador provocado pela inflação. O resultado fica assim patente no gráfico: a renda do brasileiro foi reduzida de um pico de R$ 1.120,61 em 1957 (R$ com o poder de compra de out-2004) para R$ 290.99 em 2004. Ou seja, em 47 anos o salário-minimo foi reduzido em 74%. Estamos hoje quase que na mesma situação de 1951, meio século atrás.

TAXA DE JUROS REAL E APARENTE

Quando depositamos dinheiro em uma Caderneta de Poupança e recebemos, após um mês, 12 % de juros, nossa primeira impressão é que tivemos uma renda de 12 %.

Isto, no entanto, é uma ilusão, pois a quase totalidade desses juros apenas corrige o capital, ou seja, repõe a parcela corroída pela inflação. Não se trata de renda, mas principalmente de reposição. Por essa razão, esses 12% são chamados de taxa de juros aparente. E a impressão de que esses 12% seja uma renda, se chama "Ilusão Monetária".

Por outro lado, os juros efetivamente recebidos, responsáveis pelo aumento real do capital, serão de apenas 0,5 % a/m, se a inflação tiver sido em torno de 11.5% nesse mês. Essa taxa de 0.5% a/m é chamada de taxa de juros real, enquanto que os 11.5% é a inflação ou a correção (ou atualização) monetária.

Esses conceitos permitem enunciar duas regras práticas e importantes:

Essas duas regras são muitas vezes desconhecidas, levando a verdadeiros absurdos financeiros. Veja-se por exemplo a entrevista de um político, publicada nos jornais (Estadão, 1º ago 93, Caderno de Política, p. 8):

Estado: Quanto vai custar a campanha presidencial de 94? Os mesmos US$ 2 milhões que o partido diz ter gasto em 89?

Político: Não sei prever, mas pretendo montar um grupo de trabalho para começar a fazer a estimativa de gastos de campanha. Se há cinco anos foram gastos US$ 2 milhões, com uma inflação de 1.500%, pode ser que em 94 fique cinco vezes mais caro, uns US$ 10 milhões.

Observação:

Pela Constituição Brasileira de 05-out-1988, as taxas de juros reais não podiam exceder 12% ao ano (art. 192, parágrafo 3):

"As taxas de juros reais, nelas incluídas comissões e quaisquer outras remunerações direta ou indiretamente referidas à concessão de crédito, não poderão ser superiores a doze por cento ao ano; a cobrança acima deste limite será conceituada como crime de usura, punido, em todas as suas modalidades, nos termos que a lei determinar."

Mas na prática as taxas de juros reais quase sempre têm se mostrado superior a esse limite (exemplo de "lei que não pegou"). Em 29-mai-2003, com o forte lobby dos Bancos, a Emenda Constitucional 40 acabou por abolir o limite dos 12% a/a. No entanto, para os contratos firmados entre essas duas datas, o limite de 12% a/a ficou mantido.

 

RELAÇÃO DE FISHER

Ainda no exemplo da Poupança, como a taxa aparente foi de 12% e a real foi de 0,5%, somos tentados a concluir que a Correção Monetária foi de 12 – 0,5 = 11,5 %, o que é errado.

A relação correta entre as taxas aparente, real e de inflação é dada pela Relação de Fisher:

onde

A = taxa aparente de juros, em 0/1
R = taxa real de juros, em 0/1
CM = correção monetária (ou taxa de inflação ou atualização monetária), em 0/1

No exemplo da Poupança:

A = 12 % = 0,12 0/1
R = 0,5 % = 0,005 0/1
1 + 0,12 = ( 1 + CM ) ( 1 + 0,005 )
1 + CM = 1,1144279
CM = 0,1144279 0/1 = 11,44279 %

Para verificar a validade da Relação de Fisher, suponhamos que se tenha aplicado $100.000 na Poupança a 12% a/m (aparente). O saldo após um mês será naturalmente de $ 112.000,00.

Neste caso, o demonstrativo apresentado pelo Banco será:

OBS: Note que os juros reais incidem sobre o capital corrigido, e não sobre o depósito inicial. Fazer incidir sobre o depósito inicial é um erro comum.

Note que, se a correção monetária tivesse sido de 11,5 %, como mencionado acima, chegar-se-ia a um saldo maior que $ 112.000, o que não estaria correto.

Voltemos, agora, ao caso do fluxo indexado, aqui reproduzido:

Como o total dos pagamentos (18,4799 IGPM) é maior que o total dos recebimentos (18,1908 IGPM), conclui-se que houve juros reais pagos. Se os totais tivessem sido iguais, então não teria havido pagamento de juros reais, mas apenas de Correção Monetária (o investidor não teria tido lucro nem prejuízo). E, se o total pago em IGPM resultasse menor que o valor do empréstimo, a aplicação teria dado prejuízo ao investidor, e este teria recebido juros reais negativos.

Para se conhecer qual o juro real médio do fluxo acima, calculamos:

ou seja, 0,9204 % a/m de taxa de juros real média efetiva:

Taxa de juros: Porque foi executada a função IRR
Real: Porque o fluxo está indexado
Média: Porque a IRR é constante em todo o fluxo
Efetiva: Porque foram usados juros compostos

Para comprovar a validade dessa taxa média, projetemos os pagamentos para início de outubro (chamado de ponto focal das projeções):

que é o valor do empréstimo inicial, em IGPM.

Usemos agora a Relação de Fisher nas taxas médias do fluxo. Como já visto, as taxas foram:

donde 1,08997 x 1,009204 = 1,10 ou 10 % de taxa aparente. Diferente, pois, de 9,704 %.

Somos, pois, levados a concluir que:

VALOR PRESENTE LÍQUIDO E TAXA INTERNA DE RETORNO

Projetemos todos os lançamentos da parte de cima de um fluxo de caixa no instante inicial, e somemos todas essas projeções, à qual chamaremos de Pc. Repitamos agora essa operação para a parte de baixo do fluxo, usando a mesma taxa de juros, e chamemos a soma de Pb. O Valor Presente Líquido (VPL) desse fluxo será dado por Pc - Pb.

Por exemplo, o VPL do fluxo abaixo, já visto anteriormente, é zero, já que a soma das projeções da parte de cima é igual à soma das projeções da parte de baixo.

O VPL indica o saldo líquido no início do fluxo. Assim, por exemplo, se em dezembro o valor não tivesse sido de $27 000, mas sim de (digamos) $ 20 000, então o VPL daria um saldo não nulo do mesmo sinal do empréstimo inicial, significando que ainda restaria uma parte da dívida a ser paga, e cujo valor à vista seria exatamente igual ao VPL. Assim, VPL = 0 quer dizer que a dívida está quitada.

A Taxa Interna de Retorno (TIR), por outro lado, por definição, é a taxa constante para todo o fluxo, que torna seu VPL igual a zero. Ainda no fluxo acima, a TIR, como já visto, é de 9,704 % a/m. Ou seja, a operação rendeu, em média, 9,704 % a/m no decorrer do fluxo.

Entretanto, ao contrário do VPL, a TIR às vezes produz resultados inesperados, como ilustrado nos dois exemplos abaixo. No primeiro caso, foram investidos $ 230 e retornados $ 320, com um saldo positivo de $ 90; no entanto o fluxo não possui qualquer TIR, isto é, não existe nenhuma taxa que torne o VPL desse fluxo igual a zero. No segundo caso, investiu-se $ 6.696 e obteve-se $ 6.702 de retorno, com um saldo liquido de $ 6,00, e agora existem três taxas de retorno: 3%, 20% e 100 %, isto é, qualquer uma delas torna o VPL do fluxo igual a zero.

Esses resultados desconcertantes decorrem da própria definição da TIR. Tais casos geralmente aparecem quando há mais de uma inversão de sinal nos lançamentos do fluxo, ou seja, quando os lançamentos mudam de cima para baixo, ou vice-versa (nos dois fluxos acima, houve três inversões em cada um deles). Naturalmente, todas as vezes que essas situações ocorrerem na prática, o uso da TIR deverá ser evitado.

Para entender melhor por que tais anomalias ocorrem, vejamos sua explicação matemática.

Tomemos o fluxo acima e determinemos a TIR:

1.  Projetando todos os lançamentos do fluxo para um ponto focal situado na data zero;
2.  Igualando a soma algébrica dessas projeções a zero (definição da TIR);
3.  Calculando a TIR = i

Fazendo a mudança de variável:  X = 1 / (1 + i )  obtemos um polinômio do terceiro grau (o número de períodos do fluxo):

2472 x³ - 5696 x² + 4230 x - 1000 = 0

As raízes desse polinômio fornecem as três TIR's reais e positivas: 3%, 20% e 100%. Note que TIRs negativas ou complexas, quando houver, não possuem interpretação financeira. No caso de TIR negativa, note que trocando-se todos os sinais do polinômio, os sinais das raízes não se alteram. Logo, não há significado para TIR negativa.

FIM AULA 4 DE 5

DEPRECIAÇÃO, CORREÇÃO MONTETÁRIA E FLUXO DE CAIXA

Qualquer lançamento efetuado em um fluxo de caixa deve corresponder a possíveis débitos ou créditos na conta Caixa da Contabilidade. Assim, qualquer valor que não seja passível de débito ou de crédito no Caixa não pode ser incluído no fluxo de caixa, pois seria um erro de classificação contábil. Nenhum profissional, por exemplo, debitaria no Caixa uma despesa de depreciação ou lhe creditaria um saldo de correção monetária. Esses lançamentos, evidentemente, não podem ser incluídos no Caixa e, em consequência, também não podem fazer parte de um fluxo de caixa.

No entanto, por vezes se encontram análises financeiras onde a depreciação é erroneamente incluída no fluxo de caixa, provocando um duplo lançamento, já que o custo do desgaste está incluído no fluxo através de seu valor residual. Mostraremos, em seguida, os enganos a que conduz esse erro conceitual.

Suponhamos que se esteja analisando o custo anual de utilização de uma máquina industrial. Seu preço à vista é de $21.000, será utilizada durante 5 anos e depois vendida por $1.000 como sucata. Sua manutenção custará à empresa $2.000 por ano. Todos os valores estão em moeda constante, e o custo do dinheiro é de 18% a/a real. Determinemos seu custo anual equivalente antes do IR.

O custo anual equivalente será

f ClearFIN g END 2000 PMT 5 N 18 i 1000 CHS FV PV 21000 CHS + PV 0 FV PMT

ou seja, $ 8.575,56 por ano.

Vejamos, agora, como erroneamente às vezes se faz.

Como a depreciação é de (21.000 - 1.000) / 5 = 4.000 por ano, o custo anual fica igual a (2.000 + 4.000) = 6.000. O custo anual equivalente será

f ClearFIN g END 6000 PMT 5 N 18 i 1000 CHS FV PV 21000 CHS + PV 0 FV PMT

ou seja, $ 12.575,56 por ano ($ 4.000 a mais = valor da depreciação).

É um resultado falso, pois a depreciação é um artifício contábil que não provoca movimentação no Caixa, servindo apenas para cálculo do abatimento do IR (não indicado aqui). Incluir a depreciação é incidir no erro da dupla contagem.

O custo anual da máquina foi efetivamente de $ 8.575,56, ou seja, a empresa desembolsou esse valor durante 5 anos para utilizar o equipamento.

Agora, se se quiser criar um Fundo de Depreciação para a reposição do equipamento ao fim de sua vida útil, então deverá se criar um outro fluxo de caixa, onde o Caixa será aualmente creditado no valor da depreciação e a conta Fundo de Depreciação será debitada em igual valor. Ao fim do prazo de vida útil do equipamento teremos um saldo disponível que permitirá adquirir um novo equipamento. Note-se também que esse Fundo deverá render juros.

Assim, a constituição desse Fundo não será considerado um custo adicional do equipamento, mas apenas uma provisão, ou uma aplicação financeira com objetivo determinado.

UTILIZANDO PERCENTAGENS

Taxa Percentual e Taxa Unitária

As taxas de juros e de inflação normalmente são expressas em valores percentuais (%). No entanto nas fórmulas as taxas devem ser expressas em valores unitários (0/1). A relação entre ambas é simples:

8,72 % = taxa expressa em percentagem
0,0872  0/1 = taxa expressa em por unidade

Taxa Decimal

Às vezes as taxas em por unidade (0/1) são impropriamente denominadas taxas decimais. Seu uso deve ser evitado, pois 8,72 % é tão decimal quanto 0,0872 0/1.

A relação entre uma taxa em porcentagem e decimal é (tomando o exemplo acima):

8,72 % = 8,72 por cento = 8,72 por cem = 8,72 / 100 = 0,0872 por um = 0,0872  0/1

Obs.: "Cento" é a forma portuguesa arcaica de "Cem".

Base de Percentagem

Fonte comum de erro é a confusão entre as bases de percentagem. Quando, por exemplo, se diz 12%, logo vem à mente a pergunta: 12% sobre o quê ? A resposta é o que se chama a base da pencentagem.

No entanto, por vezes se somam percentagens que se referem a bases diferentes, o que é um erro conceitual. Um exemplo real (que quase custou um emprego) esclarece melhor esse ponto.

O gerente de uma empresa fornecedora de produtos industriais resolveu, certa feita, aumentar todos os itens da tabela de preços em 17%, numa época em que a inflação mensal era de 7%. No entanto, orientou seus vendedores no sentido de que, se algum comprador reclamasse do aumento, poderia ser dado um desconto máximo de 10%. Desse modo, como 17% – 10% = 7%, com o desconto o aumento se reduziria à inflação mensal, e ninguém poderia reclamar.

Passado alguns dias, um comprador, após negociar o desconto de 10%, elogiou o vendedor por estarem afinal seguindo uma política de aumentos abaixo da inflação, dando com isso bom exemplo para o país.

O vendedor não entendeu direito, pois afinal 17-10=7, e 7% era a inflação. Será, pensou ele, que não sei mais fazer contas? Ou o cliente se enganou?

O problema chegou até o dono da empresa que, após fazer alguns cálculos, quase despediu o gerente.

Houve aqui um erro conceitual por parte do gerente. A subtração 17% – 7% = 10% de fato está errada, pois as percentagens se referem a bases diferentes. Senão vejamos.

Tomemos um preço da tabela original: $ 57.000. Com 17% de aumento, foi para $ 66.690, novo preço de venda. Dando um desconto de 10%, o preço cai para $ 60.021, pago pelo comprador.

Esse cliente naturalmente deve ter feito o raciocínio:

Um preço de $ 57.000 com 7% de inflação vai para $ 60.990. Como paguei $ 60.021, o preço ficou $ 969 abaixo do aumento inflacionário. Então houve redução real e eu saí ganhando.

Esse é o ponto. A base de porcentagem dos 17% se referia à tabela antiga, enquanto que 10% tinha por base a tabela nova. E, se as bases são diferentes, as percentagens não podem ser subtraidas nem somadas.

Claro que, se não houvesse inflação, esse erro seria facilmente detetado. Mas como ela é especialista em camuflar os fatos, acabou por passar despercebido.

Um problema semelhante ocorre quando se somam taxas de inflação. A base da taxa de um mês se refere sempre ao nível de preços do mês anterior. Logo, cada taxa mensal de inflação tem uma base diferente.

Há também situações engraçadas. Quando Sayad era Ministro do Planejamento, houve uma reunião do Conselho Nacional de Informática (CONIN), nos tempos da Reserva de Mercado, quando foi sugerido dar um subsídio de 10% aos fabricantes de computadores, proposta rapidamente aprovada. No entanto, Sayad, a quem competeria implementar a decisão, ficou pasmo. Interrompendo, fez a pergunta: Mas, senhores, 10% sobre o quê? Realmente, ninguém sabia...

A melhor regra geral, principalmente nos contratos, é sempre deixar bem claro a que base está se referindo, toda vez que algum percentual for mencionado. Ou então, em se tratando de taxas de juros, citar qual o método de cálculo utilizado: juros compostos, juros simples, desconto bancário, método add-on etc. Aliás, esta declaração explícita do método é obrigatória em vários estados americanos; além disso, a taxa deve ser sempre referida a valores anuais.

Pontos Percentuais

O ponto percentual é usado para indicar que uma percentagem deve ser somada ou subtraida, e não multiplicada. A noticia abaixo esclarece o conceito (O Globo, 18-jan-2006):

O Comitê de Política Monetária (Copom) do Banco Central (BC) anunciou um corte de 0,75 ponto percentual na taxa básica de juros (Selic, que serve de referência para a economia) nesta quarta-feira. A taxa passa de 18% para 17,25% ao ano.

Se a noticia dissesse que houve um corte de 0.75%, então a taxa passaria para

18% - 0.75% de 18% = 17.87%
18 enter 18 enter 0.75 %  --

em lugar de 17.25%.

AS PRESTAÇÕES "SEM JUROS"

É muito comum encontrarem-se planos de pagamento "sem juros". Por exemplo, uma loja pode anunciar um eletrodoméstico por $ 1.000,00 à vista ou em 5 suaves parcelas mensais de $ 200, sem juros.

Aparentemente, trata-se mesmo de uma plano "sem juros", pois o total pago, 5 x 200 é igual a $ 1.000, que é o preço "à vista".

Vejamos o que existe por trás desses planos "sem juros".

Suponha que você seja o lojista, e saiba que esse mesmo eletrodoméstico é vendido nas outras lojas por $ 850,00 à vista (agora sem aspas...) ou em (1 + 4) parcelas de $ 200,00. Fazendo as contas, vemos que está sendo cobrada uma taxa de juros de 8,9% a/m nessa compra a prazo.

Ora, se você vender seu produto à vista, irá receber $ 850,00 por ele, e aplicará seu dinheiro no mercado financeiro a uma taxa de (talvez) 2% ao mês.

No entanto, consultando os jornais, você observa que a taxa do CDC (Crédito Direto ao Consumidor) está por volta de 8,9% a/m (como já tínhamos calculado acima). Ou seja, o consumidor está pagando 8,9% nas vendas a prazo, ganho esse embolsado pelas Financeiras e pelos Bancos.

Então você se pergunta: Por que vou aplicar meu dinheiro a 2% nos Bancos se posso ganhar 8,9% ?

Mas, para ganhar 8,9% é necessário impedir que o consumidor resolva pagar à vista, obrigando-o a pagar sempre a prazo. Como conseguir isso?

Muito simples: Basta aumentar o valor à vista de $ 850,00 para $ 1.000,00 e enfatizar que você não está cobrando juros...

Desse modo, estará garantindo uma remuneração de 8,9% para seu dinheiro, ao invés dos parcos 2% pagos pelo mercado financeiro. E, se algum incauto resolver pagar à vista, melhor ainda: Você estará ganhando duplamente, pois além de continuar podendo aplicar esses $1.000,00 a 8,9%, ainda terá vendido sua mercadoria com um ágio de 17,7% à vista !

INICIO AULA 5 DE 5

PLANILHAS DE AMORTIZAÇÃO DE UMA DIVIDA

Planilha em Excel com sistema Price, SAC e Americano

FIM AULA 5 DE 5

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO

OBS: Nos exercícios abaixo, a CM é dada pela variação do IGPM.

1. Você empresta $ 10.000 a juros de 2 % a/m, mais CM de 9 % a/m, durante 6 meses. Quanto receberá no final ?

2. João pretende viajar em fins de outubro, e estima gastos de $ 20.000. Seu saldo na Poupança no início de janeiro era de $ 4.000. Entretanto, irá receber uma gratificação, paga a metade em fim de maio e a outra metade em fim de julho. De quanto deverá ser essa gratificação, de modo a poder viajar ? A Poupança rende 9,8 % a/m.

3. Em 1983, a CM foi de 156 % e a inflação de 211 %. Considerando que a Poupança paga juros reais de 6,17 % a/a + CM, qual foi a rentabilidade real nesse ano?

4. Você tem disponível 5.000 IGPM, rendendo 0,5 % a/m + CM. José lhe pede 4.000 IGPM por 6 meses, prometendo pagar 1,1 % a/m + CM. Antonio lhe pede 2.000 IGPM também por 6 meses, mas lhe propõe um juro melhor, de 1,5 % a/m + CM. Você emprestaria a Antonio?

5. Uma geladeira pode ser comprada em 1 + 2 vezes sem juros, ou à vista com 10% de desconto. Qual a taxa de juros aparente do financiamento ?

6. Um Banco empresta 100.000 IGPM em 24 prestações postecipadas de 4.000 IGPM, mais um balão de 15.000 IGPM junto com a 12ª. Qual o custo real do empréstimo ?

7. Você prepara um levantamento de debêntures a juros de 6 % ao semestre mais CM, prazo de 5 anos e resgate ao final. Entretanto, você só conseguirá colocar seus papéis no mercado a 8 % ao semestre + CM. Qual será o desconto que deve ser dado nas debêntures para atingir a taxa de mercado ?

8. A assinatura anual de uma revista (12 exemplares) custa $ 600. O preço atual de cada exemplar nas bancas é de $ 50, subindo de acordo com a inflação. Fazendo a assinatura, há um brinde de 5 números atrasados. Se o dinheiro pode ser aplicado a 5 % a/m (aparente), por quanto está sendo vendido cada número atrasado ? Inflação prevista: 3,5 % a/m.

9. Certa feita, o governo decretou que as lojas comerciais não poderiam cobrar a prazo uma parcela maior que 30 % do preço à vista. Se o custo real do dinheiro para CDC é de 1 % a/m, qual o maior prazo possível de financiamento? A inflação prevista é de 5 % a/m.

10. Um produto pode ser adquirido por $ 109.000 à vista, ou em 5 parcelas mensais postecipadas com CM + 1% a/m. Qual o valor das parcelas? Valor do IGPM para pagamento à vista: 1.000.

11. Um investidor comprou um lote de ações no valor de 500 IGPM, no início de maio. Um mês depois, vendeu parte do lote por 2.115 IGPM. Após mais 30 dias, comprou um adicional de 2.848 IGPM em ações, e decorrido mais um mês vendeu-as todas por 1.236 IGPM. Qual foi a rentabilidade da operação ? Se o valor do dinheiro durante esse período foi de 1 % a/m (real), essas operações na Bolsa equivaleram a que ganho líquido no início de maio ? E se fosse de 4 % a/m (real) ?

Nos exercícios seguintes, considerar inflação zero (país desenvolvido)

12. O proprietário de um pequeno hotel de veraneio está considerando a possibilidade de construir uma piscina para uso dos hóspedes. A piscina vai custar $ 7.000 e o proprietário acredita que irá atrair mais hóspedes e justificar um aumento nas diárias. O hotel tem capacidade para alojar 30 hóspedes, tendo estado 70% ocupado nas 3 últimas temporadas, a uma diária de $ 9,00 por pessoa. A temporada é de 42 semanas por ano. O custo de operação da piscina é estimado em $ 3.300 por temporada.

(a) Que aumento na ocupação será necessário para recuperar o capital à taxa de juros zero em 10 anos, se as diárias não forem aumentadas? Admita que os demais custos de operação do hotel não sofram alteração com pequenos aumentos na percentagem de ocupação.

(b) Se a taxa de ocupação cair para 65% sem a piscina e permanecer 70% com ela (sem alteração no preço da diária), deverá o proprietário construir a piscina? Mantenha as hipóteses estabelecidas em (a).

13. Um investidor pagou $ 1.000 por 10 ações havia 12 anos. Recebeu dividendos de $ 6 por ação no fim de cada ano, durante os primeiros 7 anos, e $ 3 por ação no fim de cada um dos 5 anos seguintes. Ele acaba de vender as ações por $ 860. Quanto ele ganhou ou perdeu nessas transações?

14. O custo de construção para um certo projeto público deve ser pago, sem juros, durante vários anos. Admitindo que os custos sejam de $ 125 por acre para uma certa fazenda de 80 acres, um total de $ 10.000 deverá ser reembolsado. Nenhum pagamento será efetuado durante os 5 primeiros anos. A partir de então, será pago $ 250 no fim de cada ano, durante os 40 anos necessários para amortizar os $ 10.000 sem juros.

É evidente que a omissão dos juros pelo governo indica, na realidade, a existência de um subsídio para os fazendeiros. Foi sugerido que, neste caso, uma medida do subsídio seria a diferença entre o custo da construção pago pelo governo ($ 10.000) e o valor atual das anuidades diferidas pagas pelos fazendeiros. Aceitando essa sugestão e calculando os juros na base de 3,5 % a/a, qual parece ter sido o subsídio, neste caso?

15. Um motorista de táxi compra um carro por $ 20.000, devendo utilizá-lo durante 2 anos e depois vendê-lo por $ 5.000. O custo de manutenção mensal é da ordem de $ 1.200 e a taxa de juros atrativa é 3% a/m. Qual deve ser a receita mínima mensal de modo a tornar esse investimento compensador? Qual o lucro mensal?

16. Um lote de terra está à venda por $ 2.500, sendo $ 500 de entrada e 4 parcelas de $ 500 por ano, "sem juros". Discutindo a compra, constatou-se que o preço à vista era de $ 2.250. Qual a taxa de juros está realmente sendo cobrada?

17. Uma empresa recebe $ 8.750.000 como resultado da emissão de obrigações, num total de $ 10.000.000, a 4% a/a e 30 anos de prazo. A diferença de $ 1.250.000 representa os custos de emissão. Se as despesas anuais relacionadas com o pagamento dos juros ($ 400.000) é de $ 25.000, qual é a taxa de juros que a empresa está realmente pagando pelo empréstimo? Os juros são pagos anualmente.

18. A Suécia emprestou uma importância de $ 100.000.000 para a antiga URSS a 3% a/a. O plano de pagamento estabelecido foi o sistema americano com 3 anos de carência (abaixo detalhado). A taxa de juros cobrada pela Suécia foi de 3% a/a?

(a) Durante os primeiros 3 anos não seria feito qualquer pagamento.
(b) No fim de cada ano, a contar do 4º até o 15º, ambos inclusive, seria pago o valor de $ 3.000.000 (3% a/a).
(c) No fim do 15º ano seria pago $ 100.000.000.

19. Havia alguns anos, um grupo de habitantes notou que sua cidade estava precisando de um moderno hotel, que custaria aproximadamente $ 250.000. Para levar avante essa idéia, fundaram a Cia. do Hotel da Cidade. Depois de uma campanha de esclarecimento, conseguiram vender 1.500 ações a $ 100 por ação, arrecadando, dessa forma, um total de $ 150.000. Os $ 100.000 que faltavam para a construção do hotel foram obtidos mediante uma hipoteca de 8% a/a, com 10 anos de prazo para pagar. A amortização seria feita em parcelas anuais iguais.

Após a construção do hotel, a junta de diretores da Cia. do Hotel da Cidade arrendou-o à Cia. X, que operava uma rede nacional de hotéis. O arrendamento seria de 20 anos e continha uma cláusula que permitia a essa Cia. comprar o hotel por $ 100.000, após 20 anos. A Cia. X concordou em mobiliar o hotel, pagar todas as taxas e impostos e arcar com os custos de operação. Por outro lado, todas as receitas provenientes do hotel seriam da Cia. X. Além disso, todas as obrigações resultantes da hipoteca seriam saldadas pela Cia. X durante os 10 primeiros anos de vigência do contrato de arrendamento. Durante os últimos 10 anos de arrendamento, a Cia. X pagaria aos acionistas dividendos anuais de $ 8 por ação. Nenhum pagamento seria feito aos acionistas durante os 10 primeiros anos. Este foi o contrato mais favorável que os diretores da Cia. do Hotel da Cidade conseguiram negociar.

Quando os acionistas locais, muitos dos quais tinham adquirido as ações sob alguma pressão, tomaram conhecimento de que não receberiam dividendos durante 10 anos, um desapontamento geral se estabeleceu entre eles, sendo que muitos procuraram vender as ações imediatamente. José Pereira, um dos homens de negócio do grupo original que promoveu o projeto, começou a comprar as ações dos insatisfeitos ao preço de $ 75 por ação.

Isto resultou em um comentário geral de que José era um "velho sovina e astuto", que estava querendo tirar vantagem do espírito público dos cidadãos. Alguns comentaram os "gordos dividendos" que obteria após o pagamento da hipoteca. Outros somente venderiam suas ações se ele pagasse "o que elas valiam" ($ 100).

Era $ 75 por ação um preço realmente baixo demais?

20. A água do mar contém cerca de 26 gramas de ouro por tonelada. O método A custa $ 120 por tonelada de água processada e extrai 85% do metal em dissolução. O método B custa $ 90 por tonelada e recupera 65%. Os dois métodos têm o mesmo custo inicial e podem processar a mesma quantidade de água por dia. Se o ouro puder ser vendido a $ 7 por grama, qual o melhor método?

21. "Em um empréstimo pessoal de R$ 10.000 por 6 meses, o cliente pagava R$ 11.953 no total. Agora vai pagar R$ 11.613, uma diferença de 17%" (VEJA, 01-jul-98, p. 34) Quais as duas taxas de juros pagas? As taxas de juros foram de fato reduzidas em 17% ? (Os pagamentos são antecipados)

22. Um borderô é apresentado a um Banco, constituido de três duplicatas: $20.000 a 30 dias, $40.000 a 65 dias e $80.000 a 82 dias. A taxa de desconto é de 4% a/m (incluindo IOF). Calcule (1) o valor liquido recebido pela empresa ao descontar esse borderô; (2) o custo aparente efetivo (juros compostos) para a empresa, em % a/m; (3) o custo real em % a/m, considerando uma inflação estável de 1% a/m nos próximos 90 dias.

23. Por vezes encontram-se no mercado imobiliário tabelas Price (TP) já prontas para uso, como a abaixo indicada. Para usá-la, soponha que se deseje pagar um imóvel, cujo valor à vista seja $ 150.000, em 10 anos. Usando o fator dessa TP para 10 anos, a 36% a/a, o valor da prestação mensal ficaria:  30,89  x  $150 = $ 4.633,50. Verifique se a taxa efetivamente paga teria sido de 36% a/a, explicando o motivo.

SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS

1. Taxa aparente: 1,02 . 1,09 - 1 = 11,18 % a/m

11,18 i 6 N 10000 PV FV (18.886,87)

2. Usando 31-jul como ponto focal, e projetando-se todos os valores

(G = gratificação):
4000 PV 9,8 i 7 N FV (7.696,20)
20000 FV 3 N PV (15.108,56)
( G / 2 ) . 1,098 . 1,098 = 0,6028 . G
Igualando as projeções das entradas com as das saídas:
7.696,20 + 0,6028 . G + G / 2 = 15.108,56 G = $ 6.721,40

3. Taxa aparente da Poupança: 2,56 . 1,0617 = 2,718 (171,8 % a/a)

Taxa real: 2,718 / 3,11 = 0,874 = 1 + R (R = -12,61 % a/a)

4.

Emprestar para José (maior montante total a valores constantes após 6 meses)

5. Como a taxa independe do preço à vista, suponha que seja $ 300.

270 PV 100 CHS PMT 3 N g BEG i (11,55 % a/m)

6. 100 CHS gCFo 4 gCFj 11 gNj 19 gCFj 4 gCFj 12 gNj fIRR (0,86 % a/m)

7. Supondo uma debênture valendo 100 IGP, pagará 6 IGP por semestre:

10 N 100 FV 6 PMT 8 i PV (86,58 IGP ou 13,42 % de desconto)

8. Como o fluxo está a valores ctes. (o valor da assinatura se mantém, mas o preço dos exemplares sobe de acordo com a inflação), a taxa real será de 1,05 / 1,035 - 1 = 1,4 %:

12 N 50 PMT 1,4 i PV ($ 548,79 valor da assinatura)
600 - 548,79 = 51,21 (5 exemplares atrasados, ou $ 10,24 cada)

9. Taxa aparente: 1,01 . 1,05 - 1 = 6,1 % a/m

Supondo preço à vista de $ 100:
100 CHS PV 30 PMT 6.1 i N ( < 4 meses, ou 3 meses )

10. Preço à vista: 109 IGPM:

109 PV 1 i 5 N PMT (22,46 IGP cada parcela)

11. 500 CHS gCFo 2115 gCFj 2848 CHS gCFj 1236 gCFj fIRR

(ERROR 3: TIR inexistente ou múltipla. Rentabilidade não se aplica)
CLX 1 i fNPV (VPL de +1,83 IGP: lucro líquido)

4 i fNPV (VPL de -0,68: prejuízo líquido)

Note que o VPL sofreu variação de sinal entre 1% e 4%.
Então há uma TIR entre 1 e 4%, que no caso é 3%.

12. (a) 5% (b) Não

13. Ganhou 4% a/a

14. $ 5.505

15. $ 2.235,69 $ 1.035,69

16. 5,56% a/a

17. 5,1 % a/a. Note que após 30 anos as obrigações serão resgatadas por $ 10.000.000.

18. Não. Foi de 2,31% a/a, devido à carência.

19. Se após 20 anos as ações forem vendidas por $ 100.000 / 1.500 = $ 66,67, então a taxa de retorno será de 2,25% se compradas por $ 100, e 4% se compradas por $ 75. Se o valor do dinheiro em situações de risco for de 4% a/a, $ 75 será o valor máximo de cada ação.

20. O método A é melhor:

21. 11953 / 6 = 1992.17 = PMT; PV = 10000 CHS; n = 6; gBEG; i = 7.75% a/m
      11613 / 6 = 1935.50 = PMT; i = 6.40% a/m
      7.75 ENTER 6.40 Delta% = -17.4% (redução da taxa de juros)

22. Total do borderô: $ (20 + 40 + 80)k = $ 140.000

Prazo médio do borderô:

f Clear Sigma
30 enter 20 Sigma+
65 enter 40 Sigma+
82 enter 80 Sigma+
g (x médio w)
f 0

Prazo médio = 70 dias

Desconto bancário: 4/30 (% ao dia ) vezes ( 70 dias ) vezes ( $ 140k ) = $13.066,67

4 enter 30 divide 70 x 140000 (X<>Y) % f5          display: 13.066,67

Valor liquido recebido = 140000 -13066,67 = $126.933,33

Item 1: $ 126.933,33

Custo aparente: calcular IRR do fluxo de caixa completo

Custo aparente do desconto: IRR = 0.141103830 % a/d

(sem limpar e usando o programa de conversao de taxas)      enter 1 enter 30 R/S       4.32 % a/m

Item 2: 4.32 % a/m (compare esta taxa com a taxa de 4% a/m usada pelo Banco)

Custo real com inflação a 1% a/m (relação de Fisher): ( -1 + 1,0432/1,01 ) = 3.29 % a/m

Valor aproximado (taxas próximas de 3%): (4,32 - 1,0) = 3,32% a/m

Item 3: 3.29 % a/m

Nota: Usando a planilha EXCEL (menos trabalhalhoso e mais rápido que a HP12C)

O Excel sempre fornece a taxa anual efetiva civil (juros compostos),
pois nos EUA as taxas de juros sempre devem ser apresentadas em % ao ano.

Para converter de % ao ano civil para % ao dia, use a fórmula da célula A6.

Em B1:B4 também se poderia digitar as datas de vencimento, em lugar dos dias decorridos.

Confira com a HP12C:   67,30795383 enter 365 enter 1  R/S        0,14110383 % ao dia

23. Tomando o exemplo indicado:
f Clear FIN  150000  CHS PV  120  n  4633.5  PMT  i        3.00% ao mês
3.0% ao mês = 42.6% ao ano, e não 36% ao ano
Motivo: a TP foi calculada com uma taxa mensal de 36/12 = 3% ao mês.