Resolução de Exercícios

do livro O Modelo Matemático dos Juros
de Antonio Carlos M. Mattos

1. O proprietário de um pequeno hotel de veraneio está considerando a possibilidade de construir uma piscina para uso dos hóspedes. A piscina vai custar $ 7.000,00 e o proprietário acredita que irá atrair mais hóspedes e justificar um aumento nas diárias. O hotel tem capacidade para alojar 30 hóspedes, tendo estado 70% ocupado nas 3 últimas temporadas, a uma diária de $ 9,00 por pessoa. A temporada é de 42 semanas por ano. O custo de operação da piscina é estimado em $ 3.300,00 por temporada. a) Que aumento na ocupação será necessário para recuperar o capital à taxa de juros zero em 10 anos, se as diárias não forem aumentadas ? Admita que os demais custos de operação do hotel não sofram alteração com pequenos aumentos na percentagem de ocupação. b) Se a taxa de ocupação cair para 65% sem a piscina e permanecer em 70% com ela (sem alteração de preço na diária), deverá o proprietário construir a piscina ? (Mantenha as hipóteses estabelecidas em (a).

(a) Custo total da piscina (em 10 anos), com taxa de juros zero:

$ 7.000 + $ 3.300 x 10 = $ 40.000

Ganho por temporada, por pessoa: $ 9 (diária) x 7 dias x 42 semanas = $ 2.646

Calculando a taxa de aumento:

2.646.x = 40.000

x = 40.000 / 26.460

x = 1,5117, que corresponde a uma taxa de 51,17% em 10 anos.

Em um ano, teremos: 51,17 / 10

E, portanto, taxa de aumento na ocupação = 5,117% a.a.

(b) Se a taxa de ocupação permanecer em 70% com a construção da piscina, o proprietário não deverá construí-la.

2. Qual a taxa efetiva anual correspondente à taxa nominal de 12% a.a., composta semestralmente ? E trimestralmente ?

Como M = C. (1 + i / m) ^{m x n}

Teremos:

Taxa anual = 12% a.a.

Taxa efetiva anual, composta semestralmente = (1 + 0,12 / 2 ) ^{2 x 1}

Taxa = 1,1236

Taxa = 12,36%

Taxa efetiva anual, composta trimestralmente = (1 + 0,12 / 4 ) ^{4 x 1}

Taxa = 1,1255

Taxa = 12,55%

3. No dia do nascimento de uma criança, seu pai resolver estabelecer um fundo-educação, depositando anualmente certa quantia a partir do 1º aniversário até o 18º, de modo a poder retirar do fundo $ 2.000,00 no 18º, 19º, 20º e 21º aniversários. Se o fundo rende 4% ao ano, quanto deverá ser o depósito anual ?

Trazendo as retiradas a Valor Presente:

E calculando o depósito anual:

5. José toma emprestado $ 10.000 a 6% composto semestralmente, concordando em amortizá-lo em 30 pagamentos semestrais iguais. Se quisesse liquidar a dívida imediatamente após o 8º pagamento, quanto deveria ser pago ?

Como as prestações são iguais e consecutivas, trata-se da utilização do Sistema Price. Assim, uma taxa de 6% com composição semestral corresponde a uma taxa semestral de 6% / 2 = 3% a.s.

Assim, teremos:

Para liquidar a dívida após o 8º pagamento, calculamos:

6. Que montante será acumulado em um fundo no fim de 15 anos se forem realizados depósitos de $ 200 no início de cada ano ? (Taxa de 7% a.a.)

No modo G BEGIN (depósitos no início do ano):

7. Um investidor pagou $ 1.000 por 10 ações há 12 anos; recebeu dividendos de $ 6 por ação no fim de cada ano durante os 7 primeiros anos e $ 3 por ação no fim de cada um dos 5 anos seguintes. Ele acaba de vender as ações por $ 860. Qual a taxa de retorno desse investimento ?

9. A compra de um lote de terreno em uma cidade está sendo estudada. O preço é de $ 20.000. O proprietário deverá pagar um imposto anual de $ 400 pelo terreno. Acredita-se que se essa propriedade for adquirida, será necessário esperar 10 anos até que possa ser vendida por um preço favorável. Qual deverá ser esse preço de modo a se lucrar 6% a.a. ?

Calculando o Valor Futuro dos gastos, cuja soma será o preço de venda para obter um lucro de 6% a.a.:

Compra:

Impostos:

Total:

(1) + (2) = $ 35.816,95 + $ 5.272,32 = $ 41.089,27

10. Uma companhia pode comprar um certo armazém para estocar seu equipamento ou então alugá-lo por 15 anos. O preço de compra é de $ 80.000. O aluguel anual é de $ 4.000 pagável no início de cada ano. Tanto na compra como no aluguel os impostos e taxa correrão por conta da companhia e serão iguais. A empresa necessitará do armazém por um período de 15 anos, quando então poderá ser vendido por $ 60.000. Que taxa de retorno a companhia lucraria ao comprar o imóvel ao invés de alugá-lo ?

11. Um capitalista empresta $ 200 para ser pago em 35 parcelas semanais de $ 6,80 no fim de cada semana. Quais as taxas de juros semanal, anual nominal e anual efetiva cobradas ?

Assim, a taxa anual nominal é:

1 ano = 52 semanas taxa nominal anual = 52 x 1 = 52% a.a. (nominal)

Taxa efetiva anual:

Cálculo utilizando-se do Programa de Conversão de Taxas:

1 ENTER 7 ENTER 365 R/S

12. Quer-se depositar uma importância no 6º aniversário de uma criança de modo a fornecer-lhe $ 2.000 em cada aniversário, do 18º ao 22º, num total de 5 retiradas. Se a taxa é de 4% a.a., de quanto deverá ser o depósito ?

Calculando o Valor Presente das Retiradas:

Donde

x / (1,04)⁶ = 4.570,89

x = $ 5.783,63

13. Um móvel pode ser comprado em 28 prestações mensais postecipadas de $ 44. Seu preço à vista é de $ 1.000. Qual a taxa mensal cobrada pelo comerciante ?

14. Um imóvel para renda está sendo vendido por $ 58.000. Essa propriedade consiste em um prédio de um andar em um bairro comercial de uma pequena cidade. O prédio contém duas lojas no andar térreo e vários escritórios no primeiro andar. Um comprador estima que, se comprar essa propriedade, permanecerá com ela por 10 anos. A renda provável total do aluguel durante esse período será de $ 7.000, e os custos totais de manutenção (reparos, impostos, taxas, seguro etc.) serão de $ 2.700. O imóvel poderá ser vendido por $ 40.000 após os 10 anos. Para o comprador, a taxa de retorno atrativa mínima é de 7% a.a. Com base nessas previsões, qual o maior preço que pode ser pago por essa propriedade ?

15. Uma nota promissória está à venda, para a qual os pagamentos anuais são de $ 587. Ainda são devidos 11 pagamentos anuais, o primeiro dos quais daqui a um ano. Quanto um investidor deverá pagar por essa nota se quiser lucrar 8% a.a. ? 7% a.a.? 6% a.a. ?

16. A indústria XYZ possui um contrato que lhe dá o direito exclusivo de fabricação de certo produto patenteado. De acordo com o contrato, a empresa paga $ 300 por ano ao inventor e mais $ 0,04 por unidade produzida. O inventor está oferecendo sua patente, que tem ainda 8 anos de validade, por um preço de $ 4.000. Se a taxa de retorno mínima atrativa da indústria é de 8% a.a., qual deverá ser a produção anual desse produto para os próximos 8 anos de modo a tornar a compra da patente um bom investimento para a empresa, ao invés de continuar com o contrato com o inventor ?

Chamando de x a quantidade de unidades produzida, teremos:

(300 + 0,04.x) / 1,08 + (300 + 0,04.x) / 1,08 ²+ ... + (300 + 0,04.x) / 1,08 ⁸ = 4.000

Resolvendo a equação:

0,2298.x + 1.723,99 = 4.000

x = 9.905 unidades

17. Um lote de ações rende juros de $ 15 pagos semestralmente, podendo ser vendido por $ 1.000 daqui a 20 anos. Qual o valor do lote hoje, para dar um retorno de 2% ao semestre ?

18. O custo de construção para um certo projeto público deve ser pago, sem juros, durante vários anos. Admitindo que os custos sejam de $ 125 por acre para uma certa fazenda de 80 acres, um total de $ 10.000 deverá ser reembolsado. Nenhum pagamento será efetuado durante os 5 primeiros anos. A partir de então, será pago $ 250 no fim de cada ano, durante os 40 anos necessários para amortizar os $ 10.000 sem juros.

É evidente que a omissão dos juros pelo governo indica, na realidade, a existência de um subsídio para os fazendeiros. Foi sugerido que, neste caso, uma medida do subsídio seria a diferença entre o custo da construção pago pelo governo ($ 10.000) e o valor atual das anuidades diferidas pagas pelos fazendeiros. Aceitando essa sugestão e calculando os juros na base de 3,5% a.a., qual parece ter sido o subsídio neste caso?

Como o custo é de $ 10.000,00 e o valor das anuidades é de $ 4.495,10, o subsídio será o resultado de $ 10.000,00 - $ 4.495,10. Portanto, o Subsídio = $ 5.504,90

21. Um lote de terra está à venda por $ 2.500, sendo $ 500 de entrada e 4 parcelas de $ 500 por ano, "sem juros". Discutindo a compra, constatou-se que o preço à vista era de $ 2.250, e que no fechamento do negócio haveria $ 50 de despesas legais. Que taxa de juros está realmente sendo cobrada ?

Com a calculadora no modo G BEGIN, pois há um pagamento no ato:

22. Uma empresa recebe $ 8.750.000 como resultado da emissão de obrigações, num total de $ 10.000.000, a 4% a.a. e 30 anos de prazo; a diferença de $ 1.250.000 representa os custos de emissão. Se as despesas anuais relacionadas com o pagamento dos juros ($ 400.000) é de $ 25.000, qual é a taxa de juros que a empresa está realmente pagando pelo empréstimo ? Os juros são pagos anualmente.

23. Um investidor comprou 100 ações da Cia. BOA S.A. por $ 3.500. Não foram pagos dividendos durante dois anos, depois foi pago $ 2 por ação a cada ano em cada um dos 4 anos seguintes, e $ 4 por ação por ano nos 3 anos subsequentes. Depois de conservar essas ações por 9 anos, ele vendeu-as por $ 7.500. Qual foi sua taxa de retorno ?

24. A Suécia emprestou uma importância de $ 100.000.000 para a Rússia. O plano de pagamento estabelecido foi o seguinte:

a) durante os 3 primeiros anos não seria feito qualquer pagamento;
b) no fim de cada ano, a contar do 4º até o 15º, ambos inclusive, seria pago $ 3.000.000 (3% a.a.);
c) no fim do 15º ano seria pago $ 100.000.000.

Qual a taxa de juros cobrada pela Suécia ?

Em valores x milhão:

25. Há alguns anos, um grupo de habitantes notou que sua cidade estava precisando de um moderno hotel, que custaria aproximadamente $ 250.000. Para levar avante essa idéia, fundaram a Cia. do Hotel Cívico. Depois de uma campanha de esclarecimento, conseguiram vender 1.500 ações a $ 100 por ação, levantando, dessa forma, um total de $ 150.000. Os $ 100.000 que faltavam para a construção do hotel foram obtidos mediante uma hipoteca de 8% a.a., com 10 anos de prazo para pagar; a amortização seria feita em parcelas anuais iguais.

Após a construção do hotel, a junta de diretores da Cia. do Hotel Cívico arrendou-a à Cia. X, que operava em uma rede nacional de hotéis. O arrendamento seria de 20 anos e continha uma cláusula que permitia a essa Cia. comprar o hotel por $ 100.000, após os 20 anos. A Cia. X concordou em mobiliar o hotel, pagar todas as taxas e impostos, e arcar com os custos de operação. Por outro lado, todas as receitas provenientes do hotel seriam da Cia. X. Além disso, todas as obrigações resultantes da hipoteca seriam saldadas pela Cia. X durante os 10 primeiros anos da vigência do contrato de arrendamento. Durante os últimos 10 anos de arrendamento, a Cia. X pagaria aos acionistas dividendos anuais de $ 8 por ação. Nenhum pagamento seria feito aos acionistas durante os 10 primeiros anos. Este foi o contrato mais favorável que os diretores da Cia. do Hotel Cívico conseguiram estabelecer.

Quando os acionistas locais, muitos dos quais tinham adquirido as ações sob alguma pressão, tomaram conhecimento de que não receberiam dividendos durante 10 anos, um desapontamento geral se estabeleceu entre eles, sendo que muitos procuraram vender as ações imediatamente. José Pereira, um dos homens de negócio do grupo original que promoveu o projeto, começou a comprar as ações dos insatisfeitos ao preço de $ 75 por ação.

Isto resultou em um comentário geral de que José Pereira era um " velho sovina e astuto" , que estava querendo tirar vantagem do espírito público dos cidadãos. Alguns comentavam os "gordos dividendos" que obteria após o pagamento da hipoteca. Outros somente venderiam suas ações se ele pagasse o que elas valiam ($ 100).

Era $ 75 por ação um preço baixo demais ? Estabeleça as hipóteses e os cálculos financeiros necessários para determinar o valor dessas ações. Analise as conclusões.

Considerando-se que após 20 anos as ações serão vendidas por 100.000 / 1.500 (total de ações) = $ 66,67, a taxa de retorno será assim calculada:

a) se as ações forem compradas por $ 100:

Considerando-se esta hipótese, a taxa de retorno será de:

b) se as ações forem compradas por $ 75:

Considerando-se esta hipótese, a taxa de retorno será de:

Para decidir sobre o preço por ação, deve-se avaliar as taxas de retorno encontradas em relação à taxa de oportunidade. Se, no caso, o valor do dinheiro for de 4%, isso significa que o valor máximo da ação é $ 75. Se fosse, por exemplo, 3,7%, cada ação poderia ser comprada por, no máximo, $ 78.

28. A água do mar contém cerca de 26 gramas de ouro por tonelada. O método A custa $ 120 por tonelada de água processada e extrai 85% do metal em dissolução. O método B custa $ 90 por tonelada de água e recupera 65% do ouro. Os dois métodos têm o mesmo custo inicial e podem processar a mesma quantidade de água por dia. Se o ouro obtido puder ser vendido a $ 7 o grama, usando o lucro por grama extraído como critério de decisão, qual o melhor método ?

Considerações iniciais:

Método A

Apresenta uma despesa de R$ 120 por tonelada

Extrai 22,1 de ouro/tonelada (0,85 x 26)

Receita por tonelada: 22,1 x $ 7 = $ 154,70

Lucro por tonelada = $ 154,70 - $ 120 = $ 34,70

Método B

Apresenta uma despesa de R$ 90 por tonelada

Extrai 16,9 de ouro/tonelada (0,65 x 26)

Receita por tonelada: 16,9 x $ 7 = $ 118,30

Lucro por tonelada = $ 118,30 - $ 90 = $ 28,30

Comparando-se o lucro final, o método A é melhor que o método B.

Analisando-se item por item, teremos:

Diferença de gasto por tonelada = 30,00 ( a favor do método B)

Diferença de lucro por tonelada = 36,40 ( a favor do método A)

Diferença a favor do método A = 6,40 ( pressupondo-se a manutenção do valor pago por tonelada de ouro em $ 7)

Estabelecendo-se, hipoteticamente que:

a) as despesas e receitas ocorram no mesmo mês;

b) o valor a ser pago pelo grama de ouro permanece constante;

c) o valor do custo inicial para os dois projetos é de $ 1.000;

teremos:

• se a extração pode ser feita por tempo determinado (por exemplo, 20 anos - ou 240 meses):

Método A:

Método B:

Portanto, analisando-se as taxas de retorno calculadas, o melhor método para extração do ouro é o Método A, pois apresenta uma taxa de retorno maior do que a do Método B.

• se a extração pode ser feita por tempo indeterminado:

Neste caso, o Valor Presente será o resultado direto da divisão entre os valores que compõem o fluxo e a taxa de retorno - ou atratividade. Digamos que esta seja de 4% a.a. Então, ficamos com:

Método A: VP = 34,7 / 4 = 8,675

Método B: VP = 28,3 / 4 = 7,075

E, como o Valor Presente de A é maior que o Valor Presente de B, o Método A é o escolhido.